lo facil que son las probabilidades

probabilidad basica

TEORIA DE PROBABILIDAD

SIGNIFICADO

Es la “posibilidad” u “oportunidad” de que ocurra un hecho o fenómeno.

• Precipitaciones el fin de semana.
• Que gane el equipo XX el próximo partido.
• Que salga un número par al arrojar un dado.

La Estadística, como un método para efectuar generalizaciones o tomar decisiones ante la Incertidumbre, se basa en la Teoría de Probabilidad, porque la Probabilidad es a la vez el Lenguaje y la Medida de la Incertidumbre y los riesgos asociados con ella.

CONCEPTOS BÁSICOS

• Experimento Aleatorio

Un experimento se considera aleatorio o estocástico si sus resultados son inciertos.

• Espacio Muestral

Conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio. Es un conjunto universal y se simboliza con S.

Ejemplo: el experimento consiste en arrojar un dado

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

• Punto Muestral

Cada uno de los resultados posibles de un experimento aleatorio.

• Suceso, hecho o evento

Es un subconjunto del espacio muestral S. Un suceso E definido en un espacio muestral se dice que es simple o elemental si contiene un solo punto muestral en S; se dice que es compuesto si contiene más de un punto muestral.

Ejemplo: Experimento que consiste en arrojar un dado

Espacio Muestral S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6}

Eventos Simples E1 ={1 } E2 ={2} E3= {3} E4 ={4} E5 ={5} E6 ={6}

Eventos compuestos E1 ={1, 3, 5 } E2 ={2, 4, 6 }

TEORIAS DE PROBABILIDAD

OBJETIVAS SUBJETIVAS

Clásica a Priori Clásica Empírica

o Frecuencial

• Teoría Clásica a priori

Teoría de la razón insuficiente

Cuando no hay razones para preferir uno de los posibles resultados o suceso a cualquier otro, todos deben considerarse con la misma probabilidad de ocurrencia. Entonces la probabilidad de ocurrencia de un suceso E, es:

Resultados favorables

Resultados posibles

La Teoría Clásica a priori se basa en el conocimiento anterior o previo del proceso o fenómeno.

• Teoría Clásica frecuencial

Cuando el experimento aleatorio se repite un gran número de veces (n) y el suceso ocurre (m) veces, la frecuencia relativa m/n será prácticamente (casi igual, aproximadamente) igual a P.

1er Enfoque frecuencia relativa n: grande

2do Enfoque P (E): Lim n "

La teoría frecuencial se basa en datos observados como resultado de repetir el experimento un número grande de veces.

LAS FRECUENCIAS RELATIVAS ESTABILIZAN LAS PROBABILIDADES

Ejemplo:

La moneda se arroja 200 veces; el número de caras en cada 20 ocasiones que se arroja se muestra en el cuadro que sigue. ¿Cuál es la probabilidad de que caiga cara cuando se arroja la moneda?

• Con la base de este experimento, la mejor respuesta que puede enunciarse es que la probabilidad de que con esta moneda particular caiga cara al arrojarla es 98/200= 0,49.

La gráfica siguiente muestra el número de tiros y la frecuencia relativa acumulativa. Adviértase que la gráfica varía alrededor de la frecuencia relativa de 0.5 calculada si la moneda es ordinaria, normal o legal.

• Las fluctuaciones de las frecuencias relativas varían considerablemente, cuando n es pequeño.

• Cuando n es grande, las fluctuaciones disminuyen y la frecuencia relativa presenta regularidad estadística.

AXIOMAS DE PROBABILIDAD

La probabilidad de un evento E en un experimento aleatorio, es el valor numérico P(E) que satisface los siguientes axiomas:

Si E es un evento definitivo del espacio muestral S, entonces:

0 "P (E) " 1

Si S representa el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio, entonces:

P (S)= 1

Si A y B son dos eventos cualesquiera definidos en el mismo espacio muestral y, si A" B = , entonces A y B se dice que son mutuamente excluyentes y, la probabilidad de que ocurra A ó B es la suma de probabilidad de sus probabilidades:

P (A " B) = P (A) + P (B)

Si A y B son dos eventos cualesquiera definidos en el mismo espacio muestral y, si A " B " , entonces A y B se dice que son no mutuamente excluyentes y, la probabilidad de que ocurra A ó B es la suma de probabilidad de sus probabilidades menos la probabilidad de ocurrencia de ambos eventos:

P (A " B) = P (A) + P (B) - P (A" B)

Evento imposible, es aquel que no tiene ningún resultado favorable dentro de un conjunto de resultados posibles de un experimento aleatorio:

P () = 0

Evento complementario , de un evento A es el evento que consiste en todos los resultados que no contiene el evento A:

P ( ) = 1 - P (A)

REGLAS PARA CÁLCULO DE PROBABILIDADES

• Probabilidad Conjunta.
• Probabilidad Marginal.
• Probabilidad Condicional.
• Independencia.

Ejemplo: Una Empresa ha relevado y clasificado a su personal según el tipo de puesto que ocupan y el tipo de estudio alcanzado.

	Universitario (A)	No Universitario (A´)	Total
Gerencial B	25	5	30
No gerencial B´	75	195	270
Total	100	200	300

• Si al elegir un empleado al azar resulta que su formación es universitaria, cuál es la probabilidad que ocupe un puesto gerencial?

• Si al elegir un empleado al azar resulta que ocupa un puesto gerencial, cuál es la probabilidad que su formación sea universitario?

• Cual es la probabilidad de que al elegir un empleado al azar su formación sea universitaria y ocupe un puesto gerencial?

• Cual es la probabilidad de que al seleccionar un empleado al azar ocupe un puesto gerencial?

• Cual es la probabilidad que al seleccionar dos empleados azar, el primero ocupe un puesto gerencial (B1), y el segundo, también (B2)?

PROBABILIDAD CONDICIONAL

• Si al elegir un empleado al azar resulta que su formación es universitaria, cuál es la probabilidad que ocupe un puesto gerencial?

• Si al elegir un empleado al azar resulta que ocupa un puesto gerencial, cuál es la probabilidad que sea universitario?

La probabilidad de que se presente el evento A, cuando se sabe que el suceso B ya se presentó, es la probabilidad de A, condicionada a la ocurrencia del suceso B. Se denota como P(A/B) y se puede definir como:

P (A / B) = " P (B / A) =

P (A / B) = =25/30 " 0.83 P (B / A) = = 25/100 = 0.25

PROBABILIDAD CONJUNTA

• Cual es la probabilidad de que al elegir un empleado al azar su formación sea universitaria y ocupe un puesto gerencial?

La probabilidad de que se presenten en forma simultanea dos eventos A y B, se conoce como probabilidad conjunta de A y B y se puede definir como:

=

=

PROBABILIDAD MARGINAL

• Cual es la Probabilidad de que al seleccionar un empleado al azar ocupe un puesto gerencial?

La probabilidad marginal es la probabilidad de un evento simple A, es decir un evento de una sola característica y se puede definir como:

• P(A) = 100/300 " 0,333

• la suma de ocurrencias conjuntas

P (A) = P (A " B) + P (A " B*) = (25/300) + (75/300) " 0,333

P (B) = P (A " B) + P (A* " B) = (25/300) + (5/300) " 0,333

INDEPENDENCIA ESTADÍSTICA - REGLA DE LA MULTIPLICACIÓN

Al resolver la probabilidad de ocurrencia conjunta de (A y B) se tiene:

La regla general de la multiplicación

Los eventos A y B son independientes sólo si :

P (A / B) = P (A)

P (B / A) = P (B)

Los eventos son estadísticamente independiente sólo sí:

P(A y B) = P (A). P (B)

Veamos:
-Cual es la probabilidad que al seleccionar dos empleados azar, el primero ocupe un puesto gerencial (B1), y, el segundo, también (B2)?
Por lo que, para el ejemplo de clasificación del personal de la empresa tenemos dos posibles situaciones
a) Selección (muestreo) sin reemplazo

P (B1 y B2) = P (B2 / B1) . P (B1)

= (29/ 299) * (30/ 300) " 0.0097

Son eventos independientes?

P (B2 / B1)= P (B2)

(29/ 299) " (30/300) Eventos dependientes
b) Selección (muestreo) con reemplazo

P (B1 y B2) = P (B2 / B1) . P (B1)

= (30/ 300) (30/ 300) = 0,01

Son eventos independientes?

P (B2 / B1) = P(B2)

(30/300) = (30/300) Eventos Independientes

Se deduce que si B2 y B1 son independientes, su probabilidad de ocurrencia conjunta es:

P (B2 y B1) = P (B2) P (B1) = (30/ 300) (30/ 300) = 0.01

Ejemplos de ENFOQUES PROBABILÍSTICOS

Si la probabilidad de comprar un televisor es de 0.5 y la probabilidad de comprar un refrigerador es 0.7; mientras que la probabilidad de comprar ambos es de 0.3.
a) ¿Cuál es la probabilidad de no comprar el refrigerador?
b)¿Cuál es la probabilidad de comprar el televisor o el refrigerador?

solución:

     Sean los susesos
                      T = Se compra el televisor
                      R = se compra el refrigerador

    Entonces
a) Lo que buscamos es P(R*) y lo que tenemos es
P(T) = 0.5,   P(R) = 0.7,  P(T y R) = 0.3

Por lo tanto al hacer uso de la proposición 1 se tiene
                     P(R) = 1 - P(R*)
Al despejar    P(R*) = 1 - P(R)
Y al sustituir  P(R*) = 1 - 0.7
                    P(R*) = 0.3
b) Lo que buscamos es P(T ó R)
Al hacer uso de la proposición 2, se tiene 
                     P(T ó R) = P(T) + P(R) - P(T y R)
                     P(T ó R) = 0.5 + O.7 - 0.3
                     P(T ó R) = 0.9

ENFOQUES PROBABILÍSTICOS

Los enfoques de la probabilidad son tres:
Subjetivo: es aquél en el cual se carece de evidencias que fundamenten científicamente la probabilidad de ocurrencia o no de un suceso; por lo que todo depende de la evaluación personal o subjetiva de quien emite un juicio. Ejemplo: cuando un médico antes de una operación dice a su paciente que la probabilidad de que la operación sea exitosa es de 0.9. Este valor, dado por el médico, es simplemente una probabilidad subjetiva.


Frecuencia relativa:Se define la frecuencia de un evento como el cociente que resulta de dividir el numero de veces que sucedió el evento entre el numero total de veces que se repitió el experimento, bajo el supuesto de que en cada repeticion de experimento el evento A tiene la misma oportunidad de ocurrir es decir:


P(A)= número de veces que ocurrió A/número de veces que se repitió el experimento.


La probabilidad de un suceso A cualquiera siempre siempre está comprendido entre cero y uno. Es decir que:


                                0 meno o igual que P(A) menor o igual que 1

Si un suceso no ocurre nunca, se dice que es un suceso imposible, y la probabilidad de estos sucesos siemper es cero.
Si un suceso ocurre siempre, entonces se dice que es un suceso seguro, y la probabilidad de estos sucesos es siempre igual a 1

"Estudiemos probabilidades"

Probabilidad:

La probabilidad mide la frecuencia con la que se obtiene un resultado (o conjunto de resultados) al llevar a cabo un experimento aleatorio, del que se conocen todos los resultados posibles, bajo condiciones suficientemente estables.

Fenomeno o experimento aleatorio:
Se llama fenomeno o experimento aleatorio a todo aquello que no se sabe exactamente de que manera ocurrira
Ejemplos:
1°. Extraer una bolita de una urna que contiene 10 bolitas numeradas del 0 al 9.
2°. Marcador final de dos equipos de baloncesto que realizan un partido.
3°. Someterse a un examen medico, para ver la cantidad de globulos rojos por mm.

Espacio muestral:
Es el conjunto formado por todos los posibles resultados de un experimento aleatorio
Ejemplos:
1°. Se lanza una moneda.
2°. Dia del proximo año en que caera la primer lluvia sobre nuestra casa.
3°. Terminacion en que caera el proximo sorteo del premio mayor de la loteria nacional.

Suceso o Evento:
Se llama suceso o evento a todo subconjunto del espacio muestral.
Ejemplos :
1°. Al lanzar una moneda al aire caera cara o puede que sea corona.
2°. Al jugar naipes puede que se gane o se pierda en un dado caso.
3°. Al jugar ajedres existe la posibilidad de dar touche o no en un dado caso

http://es.wikipedia.org/wiki/Probabilidad
http://www.jfinternational.com/mf/probabilidades-definiciones.html